Question

4．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+bx+c（a＞0），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1
（1）求b，c的值；
（2）若函数f（x）有且只有两个不同的零点，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）先求f（x）的导数f'（x），再求f（0），由题意知f（0）=1，f'（0）=0，从而求出b，c的值；
（2）求导数，利用f（a）=0，即可求出实数a的值．

解答 解：（1）因为函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+bx+c，所以导数f'（x）=x²-ax+b，
又因为曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，
所以f（0）=1，f'（0）=0，即b=0，c=1．
（2）由（1），得f'（x）=x²-ax=x（x-a）（a＞0）
由f'（x）=0得x=0或x=a，
∵函数f（x）有且只有两个不同的零点，
所以f（0）=0或f（a）=0，
∵f（0）=1，
∴f（a）=$\frac{1}{3}$a³-$\frac{1}{2}{a}^{3}$+1=0，
∴a=$\root{3}{6}$．

点评 本题主要考查导数的概念及应用：求极值，解题中必须注意过某点的切线与在某点处的切线的区别，本题就是一个很好的例子，同时考查了字母的运算能力，是一道中档题．