Question

13．①在[0，4]内随机取两个数a，b，则使函数f（x）=x²+ax+b²有零点的概率为$\frac{1}{4}$．
②在△ABC中，“$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$＞0”是“△ABC为锐角三角形”的充要条件
③已知x＞-1，y＞0且满足x+2y=1，则$\frac{1}{x+1}$+$\frac{2}{y}$的最小值为$\frac{9}{2}$
④已知点P为△ABC所在平面上的一点，且$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+t$\overrightarrow{AC}$，其中t为实数，若点P落在△ABC的内部，则t的取值范围是0＜t＜$\frac{2}{3}$其中正确的有①③④．

Answer 1

分析 ①为几何概型问题，求出区域D，d，以面积为测度，计算即可判断；
②由向量的数量积的定义和充分必要条件的定义，即可判断；
③将$\frac{1}{x+1}$+$\frac{2}{y}$转化为$\frac{1}{x+1}$+$\frac{4}{1-x}$（-1＜x＜1），再由基本不等式可得最小值，即可判断；
④用向量的加法法则，用以A为起点的向量表示得到$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，画出图形，结合点P落在△ABC的内部从而得到结论．

解答 解：①为几何概型问题．区域D：0≤a≤4，0≤b≤4，
函数f（x）=x²+ax+b²有零点的条件为△≥0，即a²-4b²≥0，
即有区域d：a-2b≥0，画出区域D，d，
可得使函数f（x）=x²+ax+b²有零点的概率为$\frac{\frac{1}{2}×4×2}{4×4}$=$\frac{1}{4}$，故正确；
②在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$＞0只能得到A为锐角，推不出“△ABC为锐角三角形”，故不正确；
③已知x＞-1，y＞0且满足x+2y=1，则$\frac{1}{x+1}$+$\frac{2}{y}$=$\frac{1}{x+1}$+$\frac{4}{1-x}$（-1＜x＜1）
=$\frac{1}{2}$[（1+x）+（1-x）]（$\frac{1}{x+1}$+$\frac{4}{1-x}$）=$\frac{1}{2}$[1+4+$\frac{1-x}{1+x}$+$\frac{4（1+x）}{1-x}$]≥$\frac{1}{2}$[5+2$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}•\frac{4（1+x）}{1-x}}$]=$\frac{9}{2}$，
当且仅当1-x=2（1+x），即x=-$\frac{1}{3}$时取得最小值为$\frac{9}{2}$．故正确；
④在AB上取一点D，使得 $\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，在AC上取一点E，
使得：$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$．
则由向量的加法的平行四边形法则得：$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
由图可知，若点P落在△ABC的内部，则0＜t＜$\frac{2}{3}$．则④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查命题的真假判断和运用，主要考查几何概率和充分必要条件的判断，以及基本不等式的运用和平面向量定理的运用，属于中档题和易错题．