Question

7．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2+x）=f（x），且在[-3，-2]上是减函数，若A、B是锐角三角形ABC的两个内角，则下列各式一定成立的是（　　）

• A． f（sinA）＜f（cosB）
• B． f（sinA）＞f（cosB）
• C． f（sinA）＞f（sinB）
• D． f（cosA）＞f（cosB）

Answer 1

分析 由f（x+2）=f（x）求出函数f（x）的周期，由周期性和条件可得f（x）在[-1，0]上单调性，由偶函数的单调性得到f（x）在[0，1]上的单调性，根据锐角三角形的条件、诱导公式、正弦函数的单调性判断出sinA和cosB大小，根据f（x）的单调性得到答案．

解答 解：由f（x+2）=f（x）得，函数f（x）的周期为2，
因为f（x）在[-3，-2]上为减函数，所以f（x）在[-1，0]上为减函数，
因为f（x）为偶函数，所以f（x）在[0，1]上为单调增函数．
因为在锐角三角形中，π-A-B＜$\frac{π}{2}$，
所以A+B＞$\frac{π}{2}$，即$\frac{π}{2}$-B＜A，
因为α，β是锐角，所以0＜$\frac{π}{2}$-B＜A＜$\frac{π}{2}$，
所以sinA＞sin（$\frac{π}{2}$-B）=cosB，
因为f（x）在[0，1]上为单调增函数．
所以f（sinA）＞f（cosB），
故选B．

点评 本题考查偶函数与函数单调性的关系，正弦函数的单调性，诱导公式，以及函数周期性与单调性的应用，考查转化思想，化简、变形能力．