Question

9．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC．
（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；
（Ⅱ）若a+b+c=1+$\sqrt{2}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，利用正、余弦定理，得a+b=$（{\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}+\frac{{{c^2}+{a^2}-{b^2}}}{2ca}}）$c，化简整理，即可证明：△ABC为直角三角形；
（Ⅱ）利用a+b+c=1+$\sqrt{2}$，a²+b²=c²，根据基本不等式可得1+$\sqrt{2}$=a+b+$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$=（2+$\sqrt{2}$）•$\sqrt{ab}$，即可求出△ABC面积的最大值．

解答 （Ⅰ）证明：在△ABC中，因为sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，
所以由正、余弦定理，得a+b=$（{\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}+\frac{{{c^2}+{a^2}-{b^2}}}{2ca}}）$c  …（2分）
化简整理得（a+b）（a²+b²）=（a+b）c²
因为a+b＞0，所以a²+b²=c²  …（4分）
故△ABC为直角三角形，且∠C=90°  …（6分）
（Ⅱ）解：因为a+b+c=1+$\sqrt{2}$，a²+b²=c²，
所以1+$\sqrt{2}$=a+b+$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$=（2+$\sqrt{2}$）•$\sqrt{ab}$
当且仅当a=b时，上式等号成立，所以$\sqrt{ab}$≤$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（8分）
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{2}$×${（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）^2}$≤$\frac{1}{4}$…（10分）
即△ABC面积的最大值为$\frac{1}{4}$…（12分）

点评 本题考查的是解三角形，考查正、余弦定理，基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．