Question

现有下列命题：
①设a，b为正实数，若a²-b²=1，则a-b＜1；
②设，均为单位向量，若；
③数列；
④设函数，则关于x的方程f²（x）+2f（x）=0有4个解．
其中的真命题有    ．（写出所有真命题的编号）．

Answer 1

【答案】分析：①将a²-b²=1，分解变形为（a+1）（a-1）=b²，即可证明a-1＜b，即a-b＜1
②根据向量模的计算公式，求出时，夹角θ的范围，可判断真假
③求数列的最大值，可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理．进而判断其真假
④根据函数，及f²（x）+2f（x）=0解方程求出方程根的个数，可判断其真假
解答：解：①若a²-b²=1，则a²-1=b²，
即（a+1）（a-1）=b²，
∵a+1＞a-1，
∴a-1＜b，即a-b＜1，①正确；
②若，则，
即2+2cosθ＞1，cosθ＞-，
又∵θ∈[0，π]，
∴θ∈[0，），②正确；
③由an=n（n+4）（）ⁿ，
令==≥1，
则2（n+1）（n+5）≥3n（n+4），
即n²≤10，所以n＜4，
即n＜4时，a_n+1＞a_n，
当n≥4时，a_n+1＜a_n，
所以a₄最大，故③正确；
令f²（x）+2f（x）=0，
则f（x）=0，或f（x）=-2，
∵，
∴当f（x）=0时，
x=1，或x=0，或x=2，
当f（x）=-2时，x=10.1或x=0.99，
故方程有5个解，故④错误
故答案为：①②③
点评：本题主要考查了不等式的证明方法，间接证明和直接证明的方法，放缩法和举反例法证明不等式，演绎推理能力，有一定难度，属中档题