Question

3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}\\{y=sin2α+1}\\{\;}\end{array}\right.$（α为参数），以O为原极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ²=4ρsinθ-3
（Ⅰ）求曲线C₁与曲线C₂在平面直角坐标系中的普通方程；
（Ⅱ）求曲线C₁上的点与曲线C₂上的点的距离的最小值．

Answer 1

分析 （I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}\\{y=sin2α+1}\\{\;}\end{array}\right.$（α为参数），由x=$\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$=sinα+cosα，两边平方代入即可得出曲线C₁的普通方程．曲线C₂的极坐标方程为ρ²=4ρsinθ-3，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得曲线C₂的普通方程．
（II）x²+y²-4y+3=0配方为：x²+（y-2）²=1，圆心C₂（0，2），设P（x₀，y₀）为曲线C₁上的任意一点，则y₀=${x}_{0}^{2}$，可得|PC|²=${x}_{0}^{2}$+$（{y}_{0}-2）^{2}$=$（{x}_{0}^{2}-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{7}{4}$，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}\\{y=sin2α+1}\\{\;}\end{array}\right.$（α为参数），
由x=$\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}（sinα+cosα）$=sinα+cosα，两边平方可得：x²=1+sin2α=y，
∴曲线C₁的普通方程为y=x²．
曲线C₂的极坐标方程为ρ²=4ρsinθ-3，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得：x²+y²=4y-3，
∴曲线C₂的普通方程为：x²+y²-4y+3=0．
（II）x²+y²-4y+3=0配方为：x²+（y-2）²=1，圆心C₂（0，2），
设P（x₀，y₀）为曲线C₁上的任意一点，则y₀=${x}_{0}^{2}$，
则|PC|²=${x}_{0}^{2}$+$（{y}_{0}-2）^{2}$=${x}_{0}^{2}$+$（{x}_{0}^{2}-2）^{2}$=${x}_{0}^{4}$-3${x}_{0}^{2}$+4=$（{x}_{0}^{2}-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{7}{4}$，
当${x}_{0}^{2}$=$\frac{3}{2}$时，|PC|_min=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．∴曲线C₁上的点与曲线C₂上的点的距离的最小值为$\frac{\sqrt{7}}{2}$-1．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、曲线相交问题、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．