Question

14．某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：

API	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，300]	＞300
空气质量	优	良	轻度污染	轻度污染	中度污染	重度污染
天数	6	14	18	27	20	15

（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提
供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的
空气严重污染与供暖有关”？

	非重度污染	严重污染	合计
供暖季	22	8	30
非供暖季	63	7	70
合计	85	15	100

（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=$\left\{\begin{array}{l}{0，0≤x≤100}\\{400，100＜x≤300}\\{2000，x＞300}\end{array}\right.$试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．
参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）列出2×2列联表，由公式，得到结果．
（Ⅱ）由分段函数，得到各段的概率，由此得到数学期望．

解答 解：（Ⅰ）根据题设中的数据得到如下2×2列联表：

	非严重污染	严重污染	总计
供暖季	22	8	30
非供暖季	63	7	70
总计	85	15	100

将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：
K²=$\frac{100（22×7-63×8）^{2}}{85×15×30×70}$≈4.575．
∵4.575＞3.841
∴由95%的把握认为：“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”
（Ⅱ）任选一天，设该天的经济损失为X元，则：
P（X=0）=P（0≤x≤100）=$\frac{1}{5}$
P（X=400）=P（100＜x≤300）=$\frac{13}{20}$，
P（X=2000）=P（x＞300）=$\frac{3}{20}$
∴E（X）=0×$\frac{1}{5}$+400×$\frac{13}{20}$+2000×$\frac{3}{20}$=560．
∴该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望为30×E（X）=16800元．

点评 本题考查2×2列联表，各段的概率，以及数学期望．