Question

6．已知函数f（x）=cos²x-sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$，利用周期公式即可得解f（x）的最小正周期；
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可求得函数f（x）的单调递增区间．
（3）由$0≤x≤\frac{π}{2}$，得$-\frac{π}{4}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$，进而可得$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤sin（2x-\frac{π}{4}）≤1$，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）f（x）=cos²x-sinxcosx
=$\frac{1+cos2x}{2}-\frac{1}{2}sin2x$…3分
=$-\frac{1}{2}（sin2x-cos2x）+\frac{1}{2}$
=$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$，…5分
所以f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．…6分
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：kπ+$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$，k∈Z，
可得函数f（x）的单调递增区间为：[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]，k∈Z．…7分
（3）由$0≤x≤\frac{π}{2}$，得$-\frac{π}{4}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$，
所以$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤sin（2x-\frac{π}{4}）≤1$，…8分
所以当$2x-\frac{π}{4}=-\frac{π}{4}$，即x=0时，$f{（x）_{max}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}×（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）+\frac{1}{2}=1$；  …10分
当$2x-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{3π}{8}$时，$f{（x）_{min}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}×1+\frac{1}{2}=\frac{{1-\sqrt{2}}}{2}$．…12分．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想，属于基础题．