Question

19．如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中点．
（1）求证：A₁C∥平面BDE；
（2）求二面角E-BD-A的正切值．

Answer 1

分析 （1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，则A₁C∥EO，由此能证明A₁C∥平面BDE．
（2）由BD⊥AC，BD⊥EO，得∠AOE是二面角E-BD-A的平面角，由此能求出二面角E-BD-A的正切值．

解答 证明：（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO
∵E是AA₁的中点，O是BD的中点，∴A₁C∥EO，
又EO?面BDE，AA₁?面BDE，所以A₁C∥平面BDE．…（6分）
解：（2）由（1）知，BD⊥AC，BD⊥EO，
∴∠AOE是二面角E-BD-A的平面角，
在Rt△AOE中，tan∠AOE=$\frac{AE}{AO}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴二面角E-BD-A的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．