Question

9．若实数a，b，c同时满足以下三个条件：
①（b+$\frac{1}{{3}^{a}}$-$\frac{1}{3}$）²+[c-m（a²+a-m²-m）]²=0；
②对任意的a∈R，b＜0或c＜0；
③存在a∈（-∞，-1），使得bc＜0．
则实数m的取值范围为（　　）

• A． （-2，0）
• B． （-2，-1）
• C． （-3，-2）
• D． （-4，-2）

Answer 1

分析 ①根据平方的性质得到b+$\frac{1}{{3}^{a}}$-$\frac{1}{3}$=0且c-m（a²+a-m²-m）=0；②等价于对于任意a≥1，c＜0，③等价于存在a＜-1，使c＞0，进而可求实数m的取值范围．

解答 解：①由①（b+$\frac{1}{{3}^{a}}$-$\frac{1}{3}$）²+[c-m（a²+a-m²-m）]²=0；
得b+$\frac{1}{{3}^{a}}$-$\frac{1}{3}$=0且c-m（a²+a-m²-m）=0；
即b=-$\frac{1}{{3}^{a}}$+$\frac{1}{3}$，c=m（a²+a-m²-m），
当a＜1时，b=-$\frac{1}{{3}^{a}}$+$\frac{1}{3}$＜0
当a≥1时，b≥0，
所以②等价于对于任意a≥1，c＜0，③等价于存在a＜-1，使c＞0，
c=m（a²+a-m²-m）=m（a+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$m-m（m²-m），
当a=1时c＜0，
即m＜0，且m+m-m² （m+1）＜0，
也即-2＜m＜0；
当存在a＜-1，使c＞0，时，
由以上知m＜0，此时当a=-1时c＞0，
即m-m-m² （m+1）＞0，得m＜-1；
综上所述得-2＜m＜-1．
故选：B

点评 本题考查求实数m的取值范围，考查进行简单的合情推理，根据平方的性质以及不等式的性质进行转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．