Question

2．（1）若函数f（x）=$\sqrt{（{a^2}-1）{x^2}+（a-1）x+\frac{2}{a+1}}$的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）已知f（x）的定义域是（0，1），求f（x+1）的定义域；
（3）已知f（x+1）的定义域是[-2，3]，求f（2-x）的定义域．

Answer 1

分析 （1）根据题意得（a²-1）x²+（a-1）x+$\frac{2}{a+1}$≥0恒成立，讨论a的取值，求出满足题意的a的取值范围即可；
（2）利用函数f（x）的定义域得出x+1的取值范围，由此求出x的取值范围即得函数f（x+1）的定义域；
（3）由函数f（x+1）的定义域求出f（x）的定义域为，再求函数f（2-x）的定义域．

解答 解：（1）由函数f（x）=$\sqrt{（{a^2}-1）{x^2}+（a-1）x+\frac{2}{a+1}}$的定义域为R，
得（a²-1）x²+（a-1）x+$\frac{2}{a+1}$≥0恒成立，
所以a≠-1；
当a=1时，不等式化为1≥0，满足条件；
当a≠±1时，有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＞0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜-1}\\{{（a-1）}^{2}-4{（a}^{2}-1）•\frac{2}{a+1}≤0}\end{array}\right.$，
解得1＜a≤9；
综上，实数a的取值范围是1≤a≤9；
（2）当函数f（x）的定义域是（0，1）时，
令0＜x+1＜1，
解得-1＜x＜0，
所以函数f（x+1）的定义域是（-1，0）；
（3）当函数f（x+1）的定义域是[-2，3]时，x∈[-2，3），∴x+1∈[-1，4）；
∴函数f（x）的定义域为[-1，4）；
令-1≤2-x＜4，
∴-3≤-x＜2，
解得-2＜x≤3，
∴函数f（2-x）的定义域是（-2，3]．

点评 本题考查了不等式的恒成立问题，也考查了函数定义域的应用问题，是综合性题目．