Question

12．设函数f（x），对任意的实数x、y，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，则f（x）在区间[a，b]上（　　）

• A． 有最大值$f（\frac{a+b}{2}）$
• B． 有最小值$f（\frac{a+b}{2}）$
• C． 有最大值f（a）
• D． 有最小值f（a）

Answer 1

分析 可令x=y=0，可得f（0）=0，再令y=-x，可得f（-x）=-f（x），即f（x）为奇函数；利用函数单调性的定义，先设x₁＜x₂得x₂-x₁＞0，结合题意得f（x₂-x₁）＜0，再结合（x+y）=f（x）+f（y）得f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）＜0，最后利用函数为奇函数得到f（x₂）-f（x₁）＜0，得到函数为R上的减函数．由此不难得到正确选项．

解答 解：对任意的实数x、y，有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，可得f（0）=2f（0），即f（0）=0，
再令y=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x），
即f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数；
任取x₁＜x₂，即x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，f （x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
即f（x₂）+f（-x₁）＜0；
∵f （x）是奇函数，
∴有f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在R上递减．
∴f（x）在区间[a，b]上有最大值f（a），最小值f（b）．
故选：C．

点评 本题以一个抽象函数为例，考查了函数奇偶性和单调性的判断与运用，属于中档题．