Question

4．已知i为虚数单位，a∈R，若$\frac{1-i}{a+i}$为纯虚数，则复数z=（2a+1）+$\sqrt{2}$i的模等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． $\sqrt{11}$

Answer 1

分析 由复数代数形式的乘除运算化简复数$\frac{1-i}{a+i}$，又根据$\frac{1-i}{a+i}$为纯虚数，列出方程组，求解即可得a的值，然后代入复数z，再由复数求模公式计算得答案．

解答 解：$\frac{1-i}{a+i}$=$\frac{（1-i）（a-i）}{（a+i）（a-i）}=\frac{（a-1）-（a+1）i}{{a}^{2}+1}$=$\frac{a-1}{{a}^{2}+1}-\frac{a+1}{{a}^{2}+1}i$，
∵$\frac{1-i}{a+i}$为纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-1}{{a}^{2}+1}=0}\\{-\frac{a+1}{{a}^{2}+1}≠0}\end{array}\right.$，
解得：a=1．
复数z=（2a+1）+$\sqrt{2}$i=$3+\sqrt{2}i$，
则$|z|=\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{11}$．
故选：D．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．