【题目】如图,椭圆的离心率为
,其左顶点
在圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆
的另一个交点为
,与圆
的另一个交点为
.
当
时,求直线
的斜率;
是否存在
,使
?若存在,求出直线
的斜率;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(i)直线
的斜率为
;(ii)不存在.
【解析】
试题(Ⅰ)求椭圆标准方程,要确定的值,由题意有
,再由离心率得
,最后由
可得
;(Ⅱ)本小题是解析几何中的探索性问题,解决问题的方法是假设存在,设直线方程为
,与椭圆方程联立可求得
点坐标(用
表示),因此
就是直线与椭圆的一个交点,因此另一个交点
的坐标易求,从而可得
,(i)由
解得
,(ii)由圆的性质可求得
,要满足题意则应该有
,如能解得
,则说明存在,如解不出
,则说明不存在.
试题解析:
(Ⅰ)因为椭圆的左顶点
在圆
上,所以
.
又离心率为,所以
,所以
,
所以,
所以的方程为
.
(Ⅱ)(i)
法一:设点,显然直线
存在斜率,
设直线的方程为
,
与椭圆方程联立得,
化简得到,
因为为上面方程的一个根,所以
,所以
由,
代入得到,解得
,
所以直线的斜率为
.
(ii)因为圆心到直线的距离为
,
所以.
因为,
代入得到
.
显然,所以不存在直线
,使得
.
法二:(i)设点,显然直线
存在斜率且不为
,
设直线的方程为
,
与椭圆方程联立得,
化简得到,
显然上面方程的一个根,所以另一个根,即
,
由,
代入得到,解得
.
所以直线的斜率为
(ii)因为圆心到直线的距离为
,
所以.
因为,
代入得到
.
若,则
,与直线
存在斜率矛盾,
所以不存在直线,使得
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着资本市场的强势进入,互联网共享单车“忽如一夜春风来”,遍布了各级城市的大街小巷,为了解我市的市民对共享单车的满意度,某调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中随机抽取了人进行分析.若得分低于
分,说明不满意,若得分不低于
分,说明满意,调查满意度得分情况结果用茎叶图表示如图1.
(Ⅰ)根据茎叶图完成下面列联表,并根据以上数据,判断是否有的把握认为满意度与年龄有关;
满意 | 不满意 | 合计 | |
| |||
| |||
合计 |
(Ⅱ)先采用分层抽样的方法从岁及以下的网友中选取
人,再从这
人中随机选出
人,将频率视为概率,求选出的
人中至少有
人是不满意的概率.
(Ⅲ)将频率视为概率,从参与调查的岁以上的网友中,随机选取
人,记其中满意度为满意的人数为
,求
的分布列和数学期望.
参考格式:,其中
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
的离心率为
,且右焦点到右准线
的距离为1.过
轴上一点
为常数,且
的直线与椭圆
交于
两点,与
交于点
,
是弦
的中点,直线
与
交于点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)试判断以为直径的圆是否经过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】数学的对称美在中国传统文化中多有体现,譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”,下列说法正确的是( )
A.对于任意一个圆,其“优美函数”有无数个
B.可以是某个圆的“优美函数”
C.正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”
D.函数是“优美函数”的充要条件为函数
的图象是中心对称图形
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆过点P(2,1).
(1)求椭圆C的方程,并求其离心率;
(2)过点P作x轴的垂线l,设点A为第四象限内一点且在椭圆C上(点A不在直线l上),点A关于l的对称点为A',直线A'P与C交于另一点B.设O为原点,判断直线AB与直线OP的位置关系,并说明理由.
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【题目】甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为
.
(1)求乙至多击目标2次的概率;
(2)记甲击中目标的次数为,求
的概率分布列及数学期望;
(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.
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【题目】研究变量,
得到一组样本数据,进行回归分析,有以下结论
①残差平方和越小的模型,拟合的效果越好;
②用相关指数来刻画回归效果,
越小说明拟合效果越好;
③在回归直线方程中,当解释变量
每增加1个单位时,预报变量
平均增加0.2个单位
④若变量和
之间的相关系数为
,则变量
和
之间的负相关很强,以上正确说法的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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