Question

平行四边形ABCD中，AB=2，AD=2

2

，∠BAD=45°，以BD为折线，把△ABD折起，使平面ABD⊥平面CBD，连结AC．

（Ⅰ）求证：AB⊥DC；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）在△ABD中，利用余弦定理，可得BD，从而可得AB⊥BD，根据平面ABD⊥平面CBD，可得AB⊥平面CBD，从而可得AB⊥DC；       
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ABC的法向量

n

=（1，1，0），平面DAC的法向量

m

=（1，0，-1），利用向量的夹角公式，可得二面角B-AC-D平面角的大小．

解答： （Ⅰ）证明：在△ABD中，∵AB=2，AD=2

2

，
BD²=AB²+AD²-2AB×AD×cos45°=4，∴BD=2，
∴AD²=AB²+BD²，∴AB⊥BD，
∵平面ABD⊥平面CBD，平面ABD∩平面CBD=BD
∴AB⊥平面CBD，
∵DC?平面CBD，
∴AB⊥DC；       
（Ⅱ）解：在四面体ABCD中，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面BDC的射线为z轴，建立如图空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）
设平面ABC的法向量为

n

=（x，y，z），则
∵

BA

=（0，0，2），

BC

=（-2，2，0），
∴

2z=0 -2x+2y=0

，∴取

n

=（1，1，0）．
同理可得平面DAC的法向量为

m

=（1，0，-1）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

2

∴二面角B-AC-D平面角的大小为60°．

点评：本题考查面面垂直，考查线面垂直，考查面面角，考查利用向量的方法解决面面角问题，确定平面的法向量是关键．