Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁，平面A₁ABB₁⊥平面ABC，AA₁=AB=2，∠A₁AB=60°，AC=BC=

2

．O，E分别是AB，CC₁中点．
（Ⅰ）求证：OE∥平面A₁C₁B；
（Ⅱ）求三棱锥B-A₁AC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明平面OEF∥平面A₁C₁B，可得OE∥平面A₁C₁B；
（Ⅱ）证明A₁O⊥平面ABC，可得A₁O是A₁到平面ABC的距离，即可求三棱锥B-A₁AC的体积．

解答： （Ⅰ）证明：取AA₁的中点，连接OF，EF，
∵O，E分别是AB，CC₁中点，
∴OF∥AB，
∵OF?平面A₁C₁B，AB?平面A₁C₁B，
∴OF∥平面A₁C₁B，
∵EF∥A₁C₁，
EF?平面A₁C₁B，AC?平面A₁C₁B，
∴EF∥平面A₁C₁B，
∵OF∩EF=F，
∴平面OEF∥平面A₁C₁B，
∴OE∥平面A₁C₁B；
（Ⅱ）解：∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，平面A₁ABB₁∩平面ABC=AB，A₁O⊥平面ABC，
∴A₁O⊥平面ABC，
∴A₁O是A₁到平面ABC的距离，
∵AC=BC=

2

，AB=2，
∴三棱锥B-A₁AC的体积等于VA1-ABC=

1

3

•

1

2

•(

2

)2•

3

=

3

3

．

点评：本题考查面面平行、线面平行，考查三棱锥B-A₁AC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．