Question

【题目】如图①，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝AB＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体DABC，如图②所示．

(1)证明：平面ABD⊥平面BCD；

(2)求二面角DABC的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）利用面面垂直性质定理可得BC⊥平面ACD，所以AD⊥BC，又AD⊥CD，从而得到AD⊥平面BCD，显然平面ABD⊥平面BCD；

（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，求出平面ABD与平面ABC的法向量，代入公式，即可求出二面角DABC的余弦值．

试题解析：

(1)证明：易知AC⊥BC，又平面ADC⊥平面ABC，

平面ADC∩平面ABC＝AC，BC平面ABC，

∴BC⊥平面ACD，∴AD⊥BC.

又AD⊥CD，BC∩CD＝C，∴AD⊥平面BCD，

∵AD平面ABD，

∴平面ABD⊥平面BCD.

(2)以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则C(0，0,0)，A(2，0,0)，D(，0，)，B(0,2，0)，＝(－，0，)，＝(－2，2，0)．

设平面ABD的法向量m＝(x，y，z)．

则即

令x＝1，得y＝1，z＝1，

所以平面ABD的一个法向量m＝(1,1,1)．

易知平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)，

∴cos〈m，n〉＝＝，

由图知，二面角DABC为锐角，

∴二面角DABC的余弦值为.