Question

已知cos(α-

β

2

)=-

1

9

，sin(

α

2

-β)=

2

3

，0＜α＜π，0＜β＜

π

2

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由同角三角函数的基本关系和角的范围可得sin（α-

β

2

）和cos（

α

2

-β）的值，由两角差的余弦公式可得cos（

α+β

2

）的值，再由二倍角的余弦公式可得．

解答： 解：∵0＜α＜π，0＜β＜

π

2

，∴-

π

4

＜α-

β

2

＜π，
又∵cos(α-

β

2

)=-

1

9

，∴

π

2

＜α-

β

2

＜π，
∴sin（α-

β

2

）=

1-cos2(α- β 2 )

=

4 5

9

；
同理由sin(

α

2

-β)=

2

3

可得cos（

α

2

-β）=

5

3

，
∴cos（

α+β

2

）=cos[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]
=cos（α-

β

2

）cos（

α

2

-β）+sin（α-

β

2

）sin（

α

2

-β）
=-

1

9

×

5

3

+

4 5

9

×

2

3

=

7 5

27

∴cos（α+β）=2cos²（

α+β

2

）-1=-

239

729

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．