Question

13．有如下4个结论，
①幂函数的图象必过定点（1，1）；
②已知x₁，x₂满足2${\;}^{{x}_{1}}$+x₁-2=0，log₂x₂+x₂-2=0，则x₁+x₂=2；
③已知函数f（x）=log_ax+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，（a＞0且a≠1），f（5）=1，则f（0.2）=1；
④函数f（x）=|x²-1|的增区间是[-1，0]∪[1，+∞），
其中正确结论的代号是①②④．

Answer 1

分析 ①根据幂函数y=x^α的图象与性质即可判断命题正确；
②根据指数与对数的相互关系，进行简单的变形，即可判断命题正确；
③利用f（5）=1，求出f（0.2）的值，即可判断命题错误；
④化简函数f（x），求出f（x）的增区间，即可判断命题正确．

解答 解：对于①，幂函数y=x^α的图象必过定点（1，1），命题正确；
对于②，∵2${\;}^{{x}_{1}}$+x₁-2=0，∴${2}^{{x}_{1}}$=2-x₁，∴x₁=log₂（2-x₁）；
又log₂x₂+x₂-2=0，∴log₂x₂=2-x₂（*），
设t=2-x₂，∴x₂=2-t，∴（*）化为log₂（2-t）=t，显然t=x₁；
∴x₁+x₂=t+x₂=2，命题正确；
对于③，函数f（x）=log_ax+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，（a＞0且a≠1），
f（5）=1时，log_a5+$\frac{1}{26}$=1，∴log_a5=$\frac{25}{26}$；
∴f（0.2）=log_a$\frac{1}{5}$+$\frac{25}{26}$=-log_a5+$\frac{25}{26}$=0，命题错误；
对于④，函数f（x）=|x²-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1，x≤-1或x≥1}\\{1{-x}^{2}，-1＜x＜1}\end{array}\right.$
∴f（x）的增区间是[-1，0]∪[1，+∞），命题正确．
综上，正确的命题是①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是综合性题目．