Question

已知函数f（x）=-x²+2ax+1-a，x∈[0，1]．
（1）若a=1，求f（x）的最大值与最小值；
（2）若f（x）的最大值为2，求实数a的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将a=1代入函数解析式化简，然后利用单调性求最值即可，（2）先对函数进行分析，然后按对称轴相对区间[0，1]位置分3类进行讨论．

解答： 解：（1）a=1时，f（x）=-x²+2x，其图象开口向下，对称轴为x=1，在区间[0，1]上单调递增，则x=1时，f（x）取得最大值1，x=0时取得最小值0；
（2）f（x）=-x²+2ax+1-a，其图象开口向下，对称轴为x=a，
当a＜0时，函数在[0，1]上单调递减，f_max=f（0）=1-a=2，则a=-1，
当a＞1时，函数在[0，1]上单调递增，f_max=f（1）=a=2，则a=2，
当0≤a≤1时，函数在[0，1]上不单调，x=a时取得最小值，最大值为f（0）或f（1），解得a=2或a=-1，
综上，a=2或-1．

点评：本题考查二次函数的基本性质，注意对函数的基本分析，和分类讨论．