Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC．
（Ⅰ）证明：A₁C⊥平面BED．
（Ⅱ）求二面角A₁-DE-B大小．
（Ⅲ）求A₁D与平面BED所成角以及点A₁到面BED的距离．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：分别以射线AB，AD，AA₁为正方向建立空间直角坐标系O-xyz．
对第（Ⅰ）问，在平面BED内找两个不共线的向量

BE

，

DE

，只需

A1C

•

BE

=0，且

A1C

•

DE

=0即可．
对第（Ⅱ）问，先求得两半平面BED与A₁ED的法向量，通过两法向量的夹角可探究二面角A₁-DE-B的大小．
对第（Ⅲ）问，根据向量

A1D

，法向量

A1C

的夹角与线面角互余，可先求

A1D

与

A1C

的夹角即可达到目的；点A₁到平面BED的距离可转化为向量

A1D

在平面BED的法向量方向上的射影长，从而利用向量数量积的几何意义解决．

解答： 解：如右图所示，分别以射线AB，AD，AA₁为正方向建立空间直角坐标系O-xyz．
（Ⅰ）证明：根据题中数据知，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，2，0），A₁（0，0，4），E（2，2，1），
则

A1C

=(2，2，-4)，

BE

=(0，2，1)，

DE

=(2，0，1)，

A1D

=(0，2，-4)，
由

A1C

•

BE

=2×0+2×2+（-4）×1=0知，A₁C⊥BE，
同理，由

A1C

•

DE

=2×2+2×0+（-4）×1=0知，A₁C⊥DE，
又BE∩DE=E，∴A₁C⊥平面BED．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

A1C

=（2，2，-4）是平面BED的一个法向量，
设

n

=（x，y，z）为平面A₁ED的法向量，则由

n • DE =0 n • A1D =0

，
得

(x，y，z)•(2，0，1)=0 (x，y，z)•(0，2，-4)=0

，从而

2x+z=0 y-2z=0

，
取z=2，得

n

=(-1，4，2)，
∴cos＜

A1C

，

n

＞=

A1C • n

| A1C || n |

=

2×(-1)+2×4+(-4)×2

24 • 21

=-

14

42

．
由图易知，两法向量

A1C

=（2，2，-4）与

n

=(-1，4，2)均指向二面角之外，
∴向量

A1C

，

n

所成的角与所求二面角互补，
从而知，所求二面角的大小为arccos

14

42

．
（Ⅲ）cos＜

A1D

，

A1C

＞=

A1D • A1C

| A1D || A1C |

=

(0，2，-4)•(2，2，-4)

20 × 24

=

30

6

．
设A₁D与平面BED所成角为θ，则θ+＜

A1D

，

A1C

＞=

π

2

，
∴sinθ=cos＜

A1D

，

A1C

＞=

30

6

，得θ=arcsin

30

6

．
又设点A₁到面BED的距离为h，则h=|

A1D

|sinθ=

20

×

30

6

=

5 6

3

．
故A₁D与平面BED所成角为arcsin

30

6

，点A₁到面BED的距离为

5 6

3

．

点评：本题考查了线面垂直的判定定理，二面角、线面角的求法及点到平面的距离的求法．根据几何体的特征，本题易于建系，故利用空间向量法求解，求解时应注意以下几点：
1．求二面角时，对于两法向量的夹角与二面角的关系，有时不易判断，常见方法是：
（1）从图观察二面角是锐角还是钝角；
（2）看两法向量的指向，若为“同进同出”，则二面角的大小与两法向量的夹角互补；若为“一出一进”，则二面角的大小与两法向量的夹角相等．
通过以上两种方法，一般可通过两法向量的余弦值得到二面角的大小
2．求线面角时，一般先求线面角的余角，因为余角可通过平面法向量与已知直线方向上的向量夹角来探求．