Question

12．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E，F分别是AB，PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求PC与平面PAD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PC的中点M，连结MF、ME，通过中位线定理及线面平行的判定定理即得结论；
（2）证明CD⊥平面PAD，可得∠CPD为PC与平面PAD所成的角，利用所给数据，即可得出结论．

解答 （1）证明：取PC的中点M，连结MF、ME，
又∵F是PD的中点，∴MF∥DC，且BE=$\frac{1}{2}D$C，
又DC∥AE，∴MF∥AE，
又E是AB的中点，且AB=CD，
∴MF=AE，
∴四边形AEMF是平行四边形，∴AF∥EM，
又EM?平面PEC，AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC；
（2）解：∵侧棱PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
又底面ABCD是矩形，∴AD⊥CD，
这样，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线，∴CD⊥平面PAD
∴∠CPD为PC与平面PAD所成的角．
∵PA=AD=1，AB=2，
∴PC=$\sqrt{6}$，
∴sin∠CPD=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
即PC与平面PAD所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题以四棱锥为载体，考查线面平行，考查线面角，解决问题的关键是将空间角找出并且把空间问题转化为平面问题，步骤是一作角二证角三求角四结论．