Question

5．已知实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≥0}\\{x-2y+1≤0}\\{2x+y-8≤0}\end{array}\right.$，则u=$\frac{2x+3y}{x+y}$的取值范围为$\frac{12}{5}$≤u≤$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据分式的性质利用分子常数化，利用换元法结合直线斜率的性质进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
则x＞0，
u=$\frac{2x+3y}{x+y}$=$\frac{2+3•\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}}$=$\frac{3（1+\frac{y}{x}）-1}{1+\frac{y}{x}}$=3-$\frac{1}{1+\frac{y}{x}}$，
设k=$\frac{y}{x}$，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，
由图象知，AO的斜率最小，BO的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2=0}\\{2x+y-8=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，即B（2，4），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+1=0}\\{2x+y-8=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（3，2），
则AO的斜率k=$\frac{2}{3}$，BO的斜率k=2，
即$\frac{2}{3}$≤k≤2，
则u=3-$\frac{1}{1+\frac{y}{x}}$=3-$\frac{1}{1+k}$在$\frac{2}{3}$≤k≤2上为增函数，
则当k=$\frac{2}{3}$时，函数取得最小值，u=$\frac{12}{5}$，
当k=2时，函数取得最大值，u=$\frac{8}{3}$，
即$\frac{12}{5}$≤u≤$\frac{8}{3}$，
故答案为：$\frac{12}{5}$≤u≤$\frac{8}{3}$

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用分式的性质以及换元法是解决本题的关键．注意数形结合．