Question

20．如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是等腰梯形，AB=CD=AD=1，BC=2，E，M，N分别是所在棱的中点．
（1）证明：平面MNE⊥平面D₁DE；
（2）证明：MN∥平面D₁DE．

Answer 1

分析 （1）由已知推导出NE⊥DE，NE⊥DD₁，从而NE⊥平面D₁DE，由此能证明平面MNE⊥平面D₁DE．
（2）推导出AB∥DE，从而AB∥平面D₁DE，进而BB₁∥平面D₁DE，平面ABB₁A₁∥平面D₁DE，由此能证明MN∥平面D₁DE．

解答 证明：（1）由等腰梯形ABCD中，
∵AB=CD=AD=1，BC=2，N是AB的中点，∴NE⊥DE，
又NE⊥DD₁，且DD₁∩DE=D，
∴NE⊥平面D₁DE，
又NE?平面MNE，
∴平面MNE⊥平面D₁DE．…（6分）
（2）等腰梯形ABCD中，
∵AB=CD=AD=1，BC=2，N是AB的中点，∴AB∥DE，∴AB∥平面D₁DE，
又DD₁∥BB₁，则BB₁∥平面D₁DE，
又AB∩BB₁=B，∴平面ABB₁A₁∥平面D₁DE，
又MN?平面ABB₁A₁，∴MN∥平面D₁DE．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．