Question

10．已知直线l：xcosθ+（y-2）sinθ=1，当θ取不同的值时，它是一系列直线l₁，l₂，l₃，…称为直线系，则下列说法正确的序号是②③④．
①直线系恒过顶点（0，2）；
②直线系与圆x²+（y-2）²=1相切；
③存在一定点不在直线系的任何直线上；
④存在四条直线围成一个正方形；
⑤若直线系中某三直线围成等边三角形，则这个三角形面积是定值．

Answer 1

分析 ①把点的坐标代人直线方程验证该直线系是否过定点即可；
②求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较即可；
③验证定点（0，2）的坐标不满足直线方程，即得结论；
④求出cosθ=0时对应的直线方程和sinθ=0时对应的直线方程，四条直线围成一个正方形；
⑤由②知，直线xcosθ+（y-2）sinθ=1与圆x²+（y-2）²=1相切，是该圆的所有切线，
该圆可以是一个正三角形的内切圆，也可以是一个正三角形的旁切圆，所以面积有两种情况，不是定值．

解答 解：对于①，直线l：xcosθ+（y-2）sinθ=1，
当x=0，y=2时，0≠1，∴该直线系不过定点（0，2），①错误；
对于②，圆心（0，2）到直线xcosθ+ysinθ-2sinθ-1=0的距离是
d=$\frac{|2sinθ-2sinθ-1|}{\sqrt{{cos}^{2}θ{+sin}^{2}θ}}$=1=r，
∴直线系与圆x²+（y-2）²=1相切，②正确；
对于③，存在一定点（0，2），该点的坐标不满足直线方程，
∴该点不在直线系的任何直线上，③正确；
对于④，当cosθ=0时，sinθ=±1，此时y=3或y=1；
当sinθ=0时，cosθ=±1，此时x=±1；
∴存在四条直线x=±1和y=3或y=1，围成一个正方形，④正确；
对于⑤，由②知，点（0，2）到直线xcosθ+（y-2）sinθ=1的距离d=1，
∴这组直线与圆x²+（y-2）²=1相切，
该圆可以是一个正三角形的内切圆，也可以是一个正三角形的旁切圆，
∴三角形的面积有两种情况，⑤错误．
综上，正确的命题序号是②③④．
故答案为：②③④．

点评 本题考查了直线与圆的综合应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，是综合性题目．