Question

15．一个袋中装有7个大小相同的球，其中红球有4个，编号分别为1，2，3，4；蓝球3个，编号为2，4，6，现从袋中任取3个球（假设取到任一球的可能性相同）．
（I）求取出的3个球中，含有编号为2的球的概率；
（Ⅱ）记ξ为取到的球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I）从7个球中取出3个球，基本事件总数n=C₇³=35，然后求出取出的3个球中，含有编号为2的球的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解
（II）先判断随机变量ξ所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值．

解答 解：（Ⅰ） 设“取出的3个球中，含有编号为2的球”为事件A，则
从盒子中取出3个球，基本事件总数n=C₇³=35，
其中含有2号球的基本事件个数m=C₂¹C₅²+C₂²C₅¹=25，
∴取出的3个球中，含有编号为2的球的概率$\frac{25}{35}$=$\frac{5}{7}$．…（5分）
（Ⅱ）ξ所有可能取值为0，1，2，3．…（6分）
P（ξ=0）=$\frac{1}{35}$，P（ξ=1）=$\frac{4{C}_{3}^{2}}{35}$=$\frac{12}{35}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{1}}{35}$=$\frac{18}{35}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{35}$=$\frac{4}{35}$，…（10分）
所以随机变量ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{4}{35}$

随机变量ξ的数学期望Eξ=1×$\frac{12}{35}$+2×$\frac{18}{35}$+3×$\frac{4}{35}$=$\frac{12}{7}$．…（14分）

点评 本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．