Question

3．如图所示，在直二面角E-AB-C中，四边形ABEF是矩形，AB=2，AF=2$\sqrt{3}$，△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF=3．
（1）证明：FB⊥平面PAC；
（2）求异面直线PC与AB所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A为原点，向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AF}$的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系利用向量法能证明FB⊥平面APC．
（Ⅱ）先求出$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{PC}$=（-$\frac{3}{2}$，2，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），由此利用向量法能求出异面直线PC与AB所成的角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）以A为原点，向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AF}$的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），F（0，0，2$\sqrt{3}$），
∵BF=$\sqrt{A{B}^{2}+A{F}^{2}}$=4，PF=3，∴AN=AB×$\frac{PF}{PB}$=2×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{2}$，PN=$\frac{AF}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{FB}$=（2，0，-2$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{AC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵$\overrightarrow{FB}•\overrightarrow{AC}$=0，∴$\overrightarrow{FB}•\overrightarrow{AC}$，∵FB⊥AC，FB⊥AP，AC∩AP=A，
∴FB⊥平面APC．
解：（Ⅱ）∵$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{PC}$=（-$\frac{3}{2}$，2，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
记$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{PC}$夹角为θ，
则|cosθ|=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PC}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{PC}|}$=$\frac{|-3|}{2\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{14}$．
∴异面直线PC与AB所成的角的余弦值为$\frac{3\sqrt{7}}{14}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．