Question

6．已知点A、B、C、D在同一球面上，AB=3，BC=4，AC=5，若四面体ABCD体积的最大值为10，则这个球的表面积为（　　）

• A． $\frac{25π}{4}$
• B． $\frac{125π}{4}$
• C． $\frac{225π}{16}$
• D． $\frac{625π}{16}$

Answer 1

分析 根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．

解答 解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为6．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，
若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S_△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为$\frac{1}{3}$×S_△ABC×DQ=10，
即$\frac{1}{3}$×6×DQ=10，∴DQ=5，如图．
设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，
OA²=AQ²+OQ²，即R²=2.5²+（5-R）²，∴R=$\frac{25}{8}$，
则这个球的表面积为：S=4π（$\frac{25}{8}$）²=$\frac{625π}{16}$．
故选：D．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．