Question

11．已知圆C经过A（1，3），B（-1，1）两点，且圆心在直线y=x上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l经过点（2，-2），且l与圆C相交所得弦长为$2\sqrt{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），利用CA=CB，建立方程，求出a，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用圆心到直线的距离公式，求出斜率，即可得出直线方程．

解答 解：（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），
依题意，有$\sqrt{{{（a-1）}^2}+{{（a-3）}^2}}=\sqrt{{{（a+1）}^2}+{{（a-1）}^2}}$，
即a²-6a+9=a²+2a+1，解得a=1，（2分）
所以r²=（1-1）²+（3-1）²=4，（4分）
所以圆C的方程为（x-1）²+（y-1）²=4．（5分）
（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，
所以直线x=2符合题意．（6分）
设直线l方程为y+2=k（x-2），即kx-y-2k-2=0，
则$\frac{|k+3|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，解得$k=-\frac{4}{3}$，
所以直线l的方程为$y+2=-\frac{4}{3}（x-2）$，即4x+3y-2=0．（9分）
综上，直线l的方程为x-2=0或4x+3y-2=0．（10分）

点评 本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用点到直线的距离公式是关键．