【题目】在直角坐标系中,动圆
与圆
外切,且圆
与直线
相切,记动圆圆心
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)设过定点的动直线
与曲线
交于
两点,试问:在曲线
上是否存在点
(与
两点相异),当直线
的斜率存在时,直线
的斜率之和为定值?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)答案见解析.
【解析】
(1)设,圆
的半径为
,由动圆
与圆
外切,可得
,又动圆
与直线
相切,所以
,两式结合消去
即可得结果;(2)设出
的坐标,
直线方程为,联立直线与抛物线方程消去
可得关于
的一元二次方程,由韦达定理、斜率公式可得
,
,化为
,由
可得结果.
(1)设P(x,y),圆P的半径为r,
因为动圆P与圆Q:(x-2)2+y2=1外切,
所以,①
又动圆P与直线x=-1相切,所以r=x+1,②
由①②消去r得y2=8x,
所以曲线C的轨迹方程为y2=8x.
(2)假设存在曲线C上的点M满足题设条件,不妨设M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则,
,
,
,
,
所以,③
显然动直线l的斜率存在且非零,设l:x=ty-2,
联立方程组,消去x得y2-8ty+16=0,
由Δ>0得t>1或t<-1,
所以y1+y2=8t,y1y2=16,且y1≠y2,
代入③式得,令
(m为常数),
整理得,④
因为④式对任意t∈(-∞,-1)∪(1,+∞)恒成立,
所以,
所以或
,即M(2,4)或M(2,-4),
即存在曲线C上的点M(2,4)或M(2,-4)满足题意.
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【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)当时,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)若在区间上存在不相等的实数
,使
成立,求
的取值范围;
(Ⅲ)若函数有两个不同的极值点
,
,求证:
.
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【题目】朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为( )
A. 9B. 16C. 18D. 20
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【题目】如图所示,在直三棱柱中,
,
,其中
为棱
上的中点,
为棱
上且位于
点上方的动点.
(1)证明:平面
;
(2)若平面与平面
所成的锐二面角的余弦值为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】已知两点、
,点
是直角坐标平面上的动点,若将点
的横坐标保持不变、纵坐标扩大到
倍后得到点
,且满足
.
(1)求动点所在曲线
的方程;
(2)过点作斜率为
的直线
交曲线
于
、
两点,且满足
,又点
关于原点
的对称点为点
,求点
、
的坐标.
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【题目】某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2015年和2018年的高考情况,得到如图柱状图:
则下列结论正确的是
A. 与2015年相比,2018年一本达线人数减少
B. 与2015年相比,2018年二本达线人数增加了倍
C. 2015年与2018年艺体达线人数相同
D. 与2015年相比,2018年不上线的人数有所增加
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【题目】如图,已知城市周边有两个小镇
、
,其中乡镇
位于城市
的正东方
处,乡镇
与城市
相距
,
与
夹角的正切值为2,为方便交通,现准备建设一条经过城市
的公路
,使乡镇
和
分别位于
的两侧,过
和
建设两条垂直
的公路
和
,分别与公路
交汇于
、
两点,以
为原点,
所在直线为
轴,建立如图所示的平面直角坐标系
.
(1)当两个交汇点、
重合,试确定此时
路段长度;
(2)当,计算此时两个交汇点
、
到城市
的距离之比;
(3)若要求两个交汇点、
的距离不超过
,求
正切值的取值范围.
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【题目】若三次函数(
)的图象上存在相互平行且距离为
的两条切线,则称这两条切线为一组“距离为
的友好切线组”.已知
,则函数
的图象上“距离为4的友好切线组”有( )组?
A. 0B. 1C. 2D. 3
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