Question

【题目】已知两点、，点是直角坐标平面上的动点，若将点的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点，且满足．

（1）求动点所在曲线的方程；

（2）过点作斜率为的直线交曲线于、两点，且满足，又点关于原点的对称点为点，求点、的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2），．

【解析】

（1）求出向量、的坐标，结合条件可得出动点的轨迹方程；

（2）得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用向量的坐标运算得出的坐标，再由点关于原点的对称点为点，可求出点的坐标.

（1），，

，即，化简得，即，

因此，曲线的方程为；

（2）设点、，直线的方程为，

将直线的方程与椭圆的方程联立，得．

由韦达定理得，，

，，

所以，点的坐标为，

又点关于原点的对称点为点，则点的坐标为.