Question

15．已知数列{a_n}的前n项和S${\;}_{n}=A{q}^{n}+B（q≠0）$，则“A=-B“是“数列{a_n}是等比数列”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 已知{a_n}成为公比不等于1的等比数列，可得出A+B=0，推断A+B=0是使{a_n}成为公比不等于1的等比数列的必要条件；数列{a_n}前n项和S_n=Aqⁿ+B，A+B=0，得到⇒{a_n}成为公比不等于1的等比数列，可推断A+B=0是使{a_n}成为公比不等于1的等比数列的充分条件．从而得出正确答案．

解答 解：（1）若{a_n}成为公比不等于1的等比数列，则
Sn=$\frac{{a}_{1}（1{-q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$-$\frac{{{a}_{1}q}^{n}}{1-q}$，比照S_n=Aqⁿ+B，得
A=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$，B=-$\frac{{a}_{1}}{1-q}$故A=-B，
若{a_n}为公比等于1的等比数列，
则：S_n=na₁，比照S_n=Aqⁿ+B，得
A=n，B=0，推不出A≠-B，不是必要条件，
（2）若已知：数列{a_n}前n项和S_n=Aqⁿ+B，A=-B即A+B=0，则
a₁=S₁=Aq+B=A（q-1），
n＞1时 an=Sn-S_n-1=aAqⁿ+B-[Aq^n-1+B]=Aq^n-1（q-1），
⇒{a_n}成为公比不等于1的等比数列．
故A+B=0是使{a_n}成为公比不等于1的等比数列的充分不必要条件．
故选：A．

点评 本小题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断、等比数列等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．