Question

已知函数f（x）=ax³+3x²-6ax-11，g（x）=3x²+6x+12，且f′（-1）=0．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间（-2，3）上的极值；
（Ⅱ）如果对于所有x≥-2都有f（x）≤kx+9≤g（x）成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，由f′（-1）=0求解a的值，把a的值代入导函数解析式后利用导函数的零点对区间（-2，3）分段，由不同区间段内导函数的符号判断原函数的单调性，从而求得极值点并得到极值；
（Ⅱ）分kx+9≤g（x）和f（x）≤kx+9对于所有x≥-2恒成立求解k的取值范围，对于kx+9≤g（x），代入函数g（x）的解析式，分x=0，-2≤x＜0，x＞0三种情况讨论，中间利用分离变量k，然后利用基本不等式求最值解决．对于f（x）≤kx+9，代入函数f（x）的解析式，仍然分x=0，-2≤x＜0，x＞0三种情况讨论，当x=0时k可取任意实数，然后利用分离变量法和配方求出-2≤x＜0时不等式成立的k的范围，证明求得的范围对于x＞0成立．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ax³+3x²-6ax-11，得f′（x）=3ax²+6x-6a，
由f′（-1）=0，即3a-6-6a=0，得a=-2．
∴f（x）=-2x³+3x²+12x-11，令f′（x）=-6x²+6x+12=0，解得x=-1或x=2．
当x∈（-2，-1），（2，3）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
当x∈（-1，2）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴当x=-1时，f（x）在区间（-2，3）上有极小值，极小值为-18，
当x=2时，f（x）在区间（-2，3）上有极大值，极大值为9．
（Ⅱ）①由kx+9≤g（x），得kx≤3x²+6x+3，当x=0时，不等式恒成立，k∈R；
当-2≤x＜0时，不等式为k≥3(x+

1

x

)+6，
而3(x+

1

x

)+6=-3[(-x)+

1

(-x)

]+6≤-3×2+6=0，∴k≥0；
当x＞0时，不等式为k≤3(x+

1

x

)+6，∵3(x+

1

x

)+6≥12，∴k≤12．
∴当x≥-2时，kx+9≤g（x）恒成立，则0≤k≤12．
②由f（x）≤kx+9，得kx+9≥-2x³+3x²+12x-11，
当x=0时，9≥-11恒成立，k∈R；当-2≤x＜0时，有k≤-2x2+3x+12-

20

x

，
设h(x)=-2x2+3x+12-

20

x

=-2(x-

3

4

)2+

105

8

-

20

x

，
当-2≤x＜0时，-2(x-

3

4

)2+

105

8

为增函数，-

20

x

也是增函数，∴h（x）≥h（-2）=8．
故要使f（x）≤kx+9在（-2，0）上恒成立，则k≤8；
由上述过程知，只要考虑0≤k≤8即可，
则当x＞0时，f′（x）=-6x²+6x+12=-6（x+1）（x-2），
在x∈（0，2]时，f′（x）＞0，在x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=2时有极大值，即f（x）在（0，+∞）上的最大值，
又f（2）=9，即f（x）≤9，而当x＞0，k≥0时，kx+9≥9恒成立，
∴当0≤k≤8时，在（0，+∞）上f（x）≤kx+9恒成立．
综上所述，0≤k≤8．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数恒成立问题，运用了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，解题过程中分离了参数k，需要注意的是注意k的范围，考查了学生综合处理问题的能力，是难题．