Question

已知函数f（x）=a²x³-ax²+，g（x）=-ax+1，其中a＞0．
（1）若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象有公共点，且在公共点处有相同的切线，试求实数a的值；
（2）在区间（0，]上至少存在一个实数x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）设函数f（x）的图象与函数g（x）的图象的公共点为M（x₀，y₀），
由题意得：，即．
由①得a（ax₀²-2x₀+1）=0，
∵a＞0，且x₀≠0，
∴a=．③
由②得a²x₀³-ax₀²+ax₀-=0．④
把③代入④，得-+•x₀-=0，
化简得x₀²-2x₀+1=0，解得x₀=1．
当x₀=1时，a==1，
于是，所求实数a的值为1．
（2）设F（x）=f（x）-g（x）=a²x³-ax²+ax-（x∈（0，]），
对F（x）求导，得F′（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x）＞0（a＞0），
∴F（x）在（0，]上为增函数，则F（x）_max=F（）．
依题意，只需F（x）_max＞0，即a²×-a×+a×-＞0，
∴a²+6a-8＞0，解得a＞-3+或a＜-3-（舍去）．
于是，所求实数a的取值范围是（-3+，+∞）．
分析：（1）分别求出f（x）和g（x）的导函数，设出两函数图象的公共点M的坐标，由两函数图象在公共点处有相同的切线，把M的横坐标代入两导函数中求出的导函数值相等得到一个关系式，记作①，把M的横坐标代入两函数解析式中得到的函数值相等，记作②，把①化简后解出a等于一个关系式，记作③，把②化简后，记作④，把③代入④消去a得到关于点M横坐标的方程，求出方程的解即可得到点M横坐标的值，把横坐标的值代入③即可求出a的值；
（2）设F（x）=f（x）-g（x），求出导函数，由x的范围得到导函数值大雨0，即F（x）为增函数，根据闭区间x的范围，求出F（x）的最大值，根据最大值大于0列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．
点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的单调性，会利用导数求闭区间上函数的最大值，是一道中档题．