Question

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．
（Ⅰ） 当a=-1时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ） 讨论f（x）在区间（0，e）上的单调情况；
（Ⅲ）试推断方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x是否有实数解．若有实数解，请求出它的解集．

Answer 1

（Ⅰ） 当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+

1

x

=

1-x

x

…（1分）
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数…（3分）
∴f（x）_max=f（1）=-1…（4分）
（Ⅱ）∵f′（x）=a+

1

x

，x∈（0，e），

1

x

∈(

1

e

，+∞)…（5分）
①若a≥-

1

e

，则f′（x）＞0，从而f（x）在（0，e）上增函数…（6分）
②若a＜-

1

e

，则由f′（x）＞0?a+

1

x

＞0，即0＜x＜-

1

a

由f′（x）＜0?a+

1

x

＜0，即-

1

a

＜x＜e．…（7分）
∴f（x）在(0，-

1

a

)上增函数，在(-

1

a

，e)为减函数…（8分）
综合上面得：当a≥-

1

e

时，f（x）在（0，e）上增函数；当a＜-

1

e

时，f（x）在(0，-

1

a

)上增函数，在(-

1

a

，e)为减函数．
（Ⅲ）|2x（x-lnx）|=2lnx+x?|x-lnx|=

lnx

x

+

1

2

…（9分）
由（Ⅰ）知当a=-1时f（x）_max=f（1）=-1，即-x+lnx≤-1
∴|x-lnx|≥1…（10分）
又令g（x）=

lnx

x

+

1

2

，g′（x）=

1-lnx

x2

，
令g′（x）＞0，得0＜x＜e；令g′（x）＜0，得x＞e
∴g（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）
∴g（x）_max=g（e）=

1

e

+

1

2

＜1，∴g（x）＜1…（12分）
∴|x-lnx|＞g（x），即|x-lnx|＞

lnx

x

+

1

2

…（13分）
∴方程|x-lnx|=

lnx

x

+

1

2

即方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x没有实数解．…（14分）