Question

14．若定义在R上的函数f（x），g（x）满足f（x-1）=f（1-x），g（x）=f（x-2），且f（x₁）＞f（x₂）＞f（1）（x₁＞x₂＞0），g（0）=3，g（2）=1，若g（x）在[0，m]上有最小值1，最大值3，则m的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （0，2]
• C． [2，4]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得f（x）在定义域R上是偶函数且在[0，+∞）上是增函数，从而可得g（x）的图象关于x=2对称，且在[2，+∞）上是增函数，从而解得．

解答 解：∵f（x-1）=f（1-x），
∴f（x）在定义域R上是偶函数，
又∵对x₁＞x₂＞0，f（x₁）＞f（x₂）＞f（0）；
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，
故g（x）的图象关于x=2对称，且在[2，+∞）上是增函数，
而g（0）=f（-2）=3，g（2）=f（0）=1，
故g（4）=g（0）=3，
∵g（x）在[0，m]上有最小值1，最大值3，
∴m∈[2，4]，
故选：C．

点评 本题考查了函数的性质的判断及数形结合的思想应用．