Question

7．某种产品的年销售量y与该年广告费用支出x有关，现收集了4组观测数据列于下表：

x（万元）	1	4	5	6
y（万元）	30	40	60	50

现确定以广告费用支出x为解释变量，销售量y为预报变量对这两个变量进行统计分析．
（1）已知这两个变量满足线性相关关系，试建立y与x之间的回归方程；
（2）假如2017年广告费用支出为10万元，请根据你得到的模型，预测该年的销售量y．
（线性回归方程系数公式$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$x）．

Answer 1

分析 （1）计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数$\stackrel{∧}{b}$、$\stackrel{∧}{a}$，写出所求回归直线方程；
（2）利用回归直线方程计算x=10时$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）计算$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（1+4+5+6）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（30+40+60+50）=45，
$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=1×30+4×40+5×60+6×50=790，
$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=1²+4²+5²+6²=78；
∴回归系数$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{790-4×4×45}{78-4{×4}^{2}}$=5，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=45-5×4=25，
∴所求回归直线方程为$\stackrel{∧}{y}$=5x+25；
（2）由已知得x=10时，
$\stackrel{∧}{y}$=5×10+25=75（万元）
∴可预测该年的销售量为75万元．

点评 本题考查了求线性回归方程的应用问题，是基础题目．