Question

14．已知等比数列{a_n}满足：a₁=$\frac{1}{2}$，a₁，a₂，a₃-$\frac{1}{8}$成等差数列，公比q∈（0，1）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=na_n，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}公比为q，${a_1}=\frac{1}{2}$，
∵${a_1}，{a_2}，{a_3}-\frac{1}{8}$成等差数列，
∴$2{a_2}={a_1}+{a_3}-\frac{1}{8}$，
即得4q²-8q+3=0，解得q=$\frac{1}{2}$，或q=$\frac{3}{2}$，
又∵q∈（0，1），∴$q=\frac{1}{2}$，∴${a_n}=\frac{1}{2}•{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}=\frac{1}{2^n}$．
（Ⅱ）根据题意得b_n=na_n=$\frac{n}{2^n}$，${S_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$，①
$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，②
作差得$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$=$2-（2+n）{（\frac{1}{2}）^n}$，
S_n=$2-（n+2）{（\frac{1}{2}）^n}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．