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    如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．

    (1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；

    (2)求平面ABM与平面A1B1M.所成的二面角大小


    解：

    （1)如图，因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角．

    因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°，

    而A1B1＝1，B1M＝，故

    tan∠MA1B1＝＝.

    即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为.

    (2)由A1B1⊥平面BCC1B1，BM⊂平面BCC1B1，得

    A1B1⊥BM①

    由(1)知，B1M＝，

    又BM＝，B1B＝2，

    所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M②

    又A1B1∩B1M＝B1，∴BM⊥平面A1B1M，而BM⊂平面ABM，

    因此平面ABM⊥平面A1B1M.故平面ABM与平面A1B1M.所成的二面角大小为：900


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