Question

5．已知直线y=$\frac{1}{2}$x+b是曲线y=lnx在点P（x₀，y₀）处的切线，
（1）求切点P的坐标；
（2）求b值．

Answer 1

分析 （1）由求导公式求出函数的导数，由导数的几何意义和条件求出切点P的坐标；
（2）将P的坐标（2，ln2）代入切线方程y=$\frac{1}{2}$x+b，即可求出b的值．

解答 解：（1）由题意得，$y′=（lnx）′=\frac{1}{x}$，
因为曲线y=lnx在点P（x₀，y₀）处的切线是y=$\frac{1}{2}$x+b，
所以$\frac{1}{{x}_{0}}=\frac{1}{2}$，则x₀=2，y₀=ln2，
则切点P的坐标（2，ln2）；
（2）将P的坐标（2，ln2）代入切线方程y=$\frac{1}{2}$x+b，
有ln2=$\frac{1}{2}×2$+b，则b=ln2-1．

点评 本题考查求导公式，以及导数的几何意义：过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，注意切点与曲线、切线的位置关系．