Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b是不同时为零的常数），其导函数为f′（x）．
（1）当a=时，若不等式f′（x）＞-对任意x∈R恒成立，求b的取值范围；
（2）求证：函数y=f′（x）在（-1，0）内至少存在一个零点；
（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，关于x的方程f（x）=-t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=时，f′（x）=x²+2bx+b-，…（1分）
依题意　f′（x）＞-　
即x²+2bx+b＞0恒成立
∴△=4b²-4b＜0，解得0＜b＜1　
所以b的取值范围是（0，1）…（4分）
（2）因为f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），
∴f′（0）=b-a，f'（-1）=2a-b，f′（-）=．
由于a，b不同时为零，所以f′（-）•f′（-1）＜0，故结论成立．
（3）因为f（x）=ax³+bx²+（b-a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax³-ax，
又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0．
所以a=1，即f（x）=x³-x．因为f′（x）=3（x-）（x+）
所以f（x）在（-∞，-），（ ，+∞）上是増函数，
在[-，]上是减函数，由f（x）=0解得x=±1，x=0，
如图所示，①当-1＜t≤-时，f（t）≥-t≥0，即t³-t≥-，解得-≤t≤0或t≥-；
②当-＜t＜0时，f（t）＞-t≥0，解得-＜t＜0；
③当t=0时，显然不成立；
④当0＜t≤时，f（t）≤-t＜0，即t3-t≤-，解得0＜t≤；
⑤当t＞时，f（t）＜-t＜0，故 ＜t＜．
⑥当t＞1时，-=f（）∴t=．
所以，所求t的取值范围是-≤t＜0或0＜t＜或t=．
分析：（1）当a=时，f′（x）=x²+2bx+b-，依题意　f′（x）＞-即x²+2bx+b＞0恒成立，由二次函数的性质，分类讨论可得答案；
（2）因为f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），所以f′（0）=b-a，f'（-1）=2a-b，f′（-）=．再由a，b不同时为零，所以f′（-）•f′（-1）＜0，故结论成立；
（3）将“关于x的方程f（x）=-t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根”转化为“函数f（x）与y=-t的交点”问题解决，先求函数f（x）因为f（x）=ax³+bx²+（b-a）x为奇函数，可解得b=0，所以f（x）=ax³-ax，再由“f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0”解得a，从而得到f（x），再求导，由f′（x）=3（x-）（x+），知f（x（-∞，-），（ ，+∞）上是増函数，在[-，]上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解．
点评：本题主要考查利用导数法研究函数的单调性，主要涉及了函数的奇偶性，函数的图象和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等问题．