Question

已知x=0是函数f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）的一个极值点，且函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为2e²．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并求单调区间．
（Ⅱ）设g(x)=

f′(x)

ex

，其中x∈（-2，m），问：对于任意的m＞-2，方程g（x）=

2

3

(m-1)2在区间（-2，m）上是否存在实数根？若存在，请确定实数根的个数．若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（I）求导f′（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x，代入x=0，x=2，从而解出参数，从而得到f（x）的解析式及单调区间；
（Ⅱ）假设方程g（x）=

2

3

(m-1)2在区间（-2，m）上存在实数根，令h（x）=x²-x-

2

3

(m-1)2，从而转化为h（x）=x²-x-

2

3

(m-1)2在区间（-2，m）上存在零点，利用二次函数的性质讨论零点的个数．

解答： 解：（I）f′（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x，
由f′（0）=0，得b=-a，
∴f′（x）=[x²+（a+2）x]e^x，
又∵f′（2）=[4+2（a+2）]e²=2e²，
∴a=-3；
令f′（x）=（x²-x）e^x≥0解得x≤0或x≥1，
令f′（x）=（x²-x）e^x＜0解得0＜x＜1；
故f（x）=（x²-3x+3）e^x，单调增区间是（-∞，0]，[1，+∞），单调减区间是（0，1）．
（Ⅱ）假设方程g（x）=

2

3

(m-1)2在区间（-2，m）上存在实数根，
设x₀是方程g（x）=

2

3

(m-1)2的实根，
即x₀²-x₀=

2

3

(m-1)2，
令h（x）=x²-x-

2

3

(m-1)2，
h（-2）=6-

2

3

(m-1)2=-

2

3

（m+2）（m-4），
h（m）=m（m-1）-

2

3

(m-1)2=

1

3

（m+2）（m-1）；
①当m＞4或-2＜m＜1时，
h（-2）•h（m）＜0，
h（x）在（-2，m）上有且只有一个零点，即方程g（x）=

2

3

(m-1)2有且只有一个根；
②当1＜m＜4时，h（-2）＞0且h（m）＞0；
又∵h（0）=-

2

3

(m-1)2＜0，
∴h（x）在（-2，m）有两个零点，即方程g（x）=

2

3

(m-1)2有两个根；
③当m=1时，h（x）=x²-x=0，
x=0或x=1；
方程g（x）=

2

3

(m-1)2有且只有一个根；
④当m=4时，h（x）=x²-x-6=0，
方程g（x）=

2

3

(m-1)2有且只有一个根；
综上所述，
对于任意的m＞-2，方程g（x）=

2

3

(m-1)2在区间（-2，m）上存在实数根；
当m≥4或-2＜m≤1时，有唯一的实数解，
当1＜m＜4时，有两个实数解．

点评：本题考查了导数的综合应用及二次函数的性质应用，属于中档题．