Question

如图，在正四棱锥S-ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC₁；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC．中恒成立的为（　　）

• A、①③
• B、③④
• C、①②
• D、②③④

Answer 1

考点：空间中直线与平面之间的位置关系,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：在①中：由已知得SO⊥AC．，AC⊥平面SBD，从而平面EMN∥平面SBD，由此得到AC⊥EP；在②中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线；在③中：由平面EMN∥平面SBD，从而得到EP∥平面SBD；在④中：由已知得EM⊥平面SAC，从而得到EP与平面SAC不垂直．

解答： 解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
在①中：由正四棱锥S-ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，
∴SO⊥AC．
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，
∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，
∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．
在②中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，
不可能EP∥BD，因此不正确；
在③中：由①可知平面EMN∥平面SBD，
∴EP∥平面SBD，因此正确．
在④中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，
若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，
因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．
故选：A．

点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．