Question

11．平面凸四边形ABCD，AB=2，BC=3，CD=4，AD=5，则此四边形的最大面积为$2\sqrt{30}$．

Answer 1

分析 连接BD，在△ABD和△BCD中分别由余弦定理可得5cosA-6cosC=1，由面积可得5sinA+6sinC=S，将2式子平方后相加解三角函数的值域可得S的不等式，解不等式可得答案．

解答 解：连接BD，在△ABD和△BCD中分别应用余弦定理，
可得：BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cosA=BC²+CD²-2BC•CD•cosC，
整理有：5cosA-6cosC=1…①?，
四边形ABCD的面积：$S={S_{△ABD}}+{S_{△BCD}}=\frac{1}{2}AB•AD•sinA+\frac{1}{2}BC•CD•sinC=5sinA+6sinC$，…②?
?①式②?式平方相加得：S²+1=25-60cos（A+C）+36，
可得：S²=60-60cos（A+C）≤120，
当A+C=π时，四边形ABCD的面积S取到最大值为$2\sqrt{30}$．
故答案为：$2\sqrt{30}$．

点评 本题考查解三角形，涉及余弦定理和三角形的面积公式以及不等式的性质，属中档题．