Question

20．已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且a₅²=a₂a₁₄．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）若数列{b_n}的满足b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n-n=$\frac{{S}_{n}}{2}$，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（2）利用递推关系即可得出．

解答 解：（1）∵a₅²=a₂a₁₄，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），解得d=2．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
（2）∵数列{b_n}的满足b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n-n=$\frac{{S}_{n}}{2}$，
∴b₁-1=$\frac{{a}_{1}}{2}$，解得b₁=$\frac{3}{2}$．
当n≥2时，b₁+2b₂+3b₃+…+（n-1）b_n-1-（n-1）=$\frac{{S}_{n-1}}{2}$，
可得：nb_n-1=$\frac{{a}_{n}}{2}$=$\frac{2n-1}{2}$，
可得b_n=$\frac{2n+1}{2n}$．当n=1时也成立．
∴b_n=$\frac{2n+1}{2n}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．