Question

5．设函数y=f（x）的定义域为D，且对任意a∈D，都有唯一的实数b满足f（b）=2f（a）-b，则该函数可能是（　　）

• A． f（x）=$\frac{1}{x}$
• B． f（x）=|x|
• C． f（x）=2^x
• D． f（x）=x+$\frac{1}{x}$

Answer 1

分析 根据已知中对任意a∈D，都有唯一的实数b满足f（b）=2f（a）-b，逐一分析四个函数是否满足条件，可得结论．

解答 解：∵任意a∈D，都有唯一的实数b满足f（b）=2f（a）-b，
若f（x）=$\frac{1}{x}$，令a=2，则2f（a）=1，
若f（b）=2f（a）-b，则f（b）+b=1，此时不存在满足条件的b值，
故A错误；
若f（x）=|x|，令a=0，则2f（a）=0，
若f（b）=2f（a）-b，则f（b）+b=0，此时，任意b≤0均满足条件，
故B错误；
若f（x）=2^x，则满足对任意a∈D，都有唯一的实数b满足f（b）=2f（a）-b，
故C正确；
若f（x）=x+$\frac{1}{x}$，令a=1，则2f（a）=4，
若f（b）=2f（a）-b，则f（b）+b=4，则存在两个b值满足条件，
故D错误，
故选：C

点评 本题考查的知识点是新定义，函数图象和性质，函数的零点与方程根的关系，难度中档．