Question

15．若f（x）=$\frac{m（x-1）}{x+1}$-lnx在[1，+∞）单调递减，求m范围．

Answer 1

分析 先求f′（x），再由题意，可得f′（x）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，解出即可．

解答 解：由于f（x）=$\frac{m（x-1）}{x+1}$-lnx=$\frac{m（x+1-2）}{x+1}-lnx$=m-$\frac{2m}{x+1}$-lnx，
则f′（x）=$\frac{2m}{（x+1）^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
①当m=0时，f′（x）＜0在区间（0，+∞）上恒成立，
则f（x）=$\frac{m（x-1）}{x+1}$-lnx在[1，+∞）单调递减，即m=0适合题意；
②当m≠0时，f′（x）=$\frac{2m}{（x+1）^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{2mx-（x+1）^{2}}{（x+1）^{2}•x}$=$\frac{-{x}^{2}+2（m-1）x-1}{x（x+1）^{2}}$，
∵f（x）=$\frac{m（x-1）}{x+1}$-lnx在[1，+∞）单调递减，
∴f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+2（m-1）x-1}{x（x+1）^{2}}$≤0即g（x）=-x²+2（m-1）x-1≤0在区间[1，+∞）上恒成立，
∴△≤0或$\left\{\begin{array}{l}△≥0\\ g（1）≤0\end{array}\right.$，解得0≤m≤2或m＜0，∴m≤2，
∴m的取值范围是（-∞，2]．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．