Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f(α-

π

3

)=4cosα，求

cos2α+sinαcosα

sin2α-cos2α

的值．

Answer 1

分析：（1）通过函数的图象求出A，利用周期求出ω，利用函数的图象经过的特殊点求出φ，即可求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用f(α-

π

3

)=4cosα，求出tanα的值，直接求

cos2α+sinαcosα

sin2α-cos2α

的值．

解答：（满分（13分），其中（Ⅰ）小问（7分），（Ⅱ）小问6分）
解：（Ⅰ）由图可知：A=2，ω=1，则f（x）=2sin（x+φ）…（3分）
由图象过点(

π

6

，2)，则sin(

π

6

+φ)=1，
又0＜φ＜π，则

π

6

+φ=

π

2

⇒φ=

π

3

…（6分）
故f(x)=2sin(x+

π

3

)…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=2sin(x+

π

3

)
则f(α-

π

3

)=4cosα⇒2sinα=4cosα⇒tanα=2…（10分）
则原式=

cos2α+sinαcosα

sin2α-cos2α

=

1-tanα

tan2α-1

=

1+2

22-1

=1…（13分）

点评：本题考查三角函数的解析式的求法，周期以及函数的值的求法，考查计算能力与视图能力．