Question

设有关x的一元二次方程9x²+6ax-b²+4=0．
（1）若a是从1，2，3这三个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（2）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

考点：几何概型,列举法计算基本事件数及事件发生的概率

专题：概率与统计

分析：（1）利用有序实数对表示基本事件，由古典概型公式解答；
（2）表示a，b满足的区域，求出面积，利用几何概型解答．

解答： 解：（1）由题意，知基本事件共有9个，可用有序实数对表示为（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），
其中第一个表示a的取值，第二个表示b的取值…（2分）
由方程9x²+6ax-b²+4=0的△=36a²-36（-b²+4）≥0⇒a²+b²≥4…（4分）
∴方程9x²+6ax-b²+4=0有实根包含7个基本事件，即（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．
∴此时方程9x²+6ax-b²+4=0有实根的概率为

7

9

…（6分）

（2）a，b的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a≤3，0≤b≤2…（8分）
∴构成“方程9x²+6ax-b²+4=0有实根”这一事件的区域为{（a，b）|a²+b²≥4，0≤a≤3，0≤b≤2}（图中阴影部分）．
∴此时所求概率为

2×3- 1 4 ×π×22

2×3

=1-

π

6

…（13分）

点评：本题考查了古典概型、几何概型的概率公式的运用；关键是明确事件的属性，正确选择概率模型．