Question

设（为实常数）.
（1）当时，证明：
①不是奇函数；②是上的单调递减函数.
（2）设是奇函数，求与的值.

Answer 1

(1)见解析；（2）或.

解析试题分析：（1）①利用特殊值可证不是奇函数；②利用单调性的定义进行证明函数的单调性，经五步：取值，作差，化简，判断符号，下结论.（2）方法一：由代入化简得：
，这是关于的恒等式，所以；方法二：由算出与的值，然后进行检验，考虑到分母不能为0，注意分与两种情况进行讨论.
试题解析：（1）①当时，，
，
所以，不是奇函数；             2分
②设，则，          3分

                5分
因为，所以，又因为，
所以                6分
所以，
所以是上的单调递减函数.             7分
（2）是奇函数时，，
即对任意实数成立，
化简整理得，这是关于的恒等式，   10分
所以所以或 .             12分
（2）另解：若，则由，得；          8分
由，解得：；              9分
经检验符合题意.                   10分
若，则由，得，
因为奇函数的定义域关于原点对称，
所以，所以，             11分
由，解得：；
经检验符合题意。
所以.               12分
考点：函数的奇偶性，单调性.